∝
y = kx
≠
Matematik Tingkatan 5
BAB 1:
UBAHAN
“Menjejaki perkaitan dinamik antara pemboleh ubah; apabila satu nilai berubah, apakah yang terjadi kepada nilai yang lain?”
Istilah Penting:
• Pemboleh ubah (Variable): Kuantiti yang nilainya boleh berubah-ubah (contohnya x, y).
• Pemalar (Constant): Kuantiti yang nilainya tetap dan tidak berubah (biasanya diwakili dengan huruf k).
• Pemboleh ubah (Variable): Kuantiti yang nilainya boleh berubah-ubah (contohnya x, y).
• Pemalar (Constant): Kuantiti yang nilainya tetap dan tidak berubah (biasanya diwakili dengan huruf k).
1.1 Ubahan Langsung & Tercantum
Ubahan Langsung
Apabila nilai x bertambah, nilai y juga bertambah pada kadar yang sama (dan sebaliknya).
y ∝ x
y = kx
y = kx
Ubahan Tercantum
Ubahan langsung yang mengaitkan dua atau lebih pemboleh ubah. y berubah secara langsung dengan x dan z.
y ∝ xz
y = kxz
y = kxz
💡 Ciri Graf Ubahan Langsung: Graf bagi y melawan x ialah satu garis lurus yang sentiasa bermula dan memotong asalan (0,0).
1.2 Ubahan Songsang
Berbeza dengan ubahan langsung. Apabila nilai x bertambah, nilai y akan berkurang pada kadar yang sama (dan sebaliknya).
y ∝
y =
1x
y =
kx
💡 Ciri Graf Ubahan Songsang: Graf bagi y melawan x berbentuk lengkung hiperbola. Namun, jika graf y melawan 1/x diplotkan, ia akan menjadi garis lurus yang bermula dari asalan.
1.3 Ubahan Bergabung
Mempunyai gabungan kedua-dua unsur di atas. Sesuatu pemboleh ubah boleh berubah secara langsung dengan satu pemboleh ubah lain, dan secara songsang dengan pemboleh ubah yang satu lagi.
“y berubah secara langsung dengan kuasa dua x dan secara songsang dengan z.”
Hubungan: y ∝
Persamaan: y =
x²z
Persamaan: y =
k x²z
🧠 UJI MINDA: Selesaikan Masalah Ini
Soalan:
Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan kuasa dua q dan secara songsang dengan punca kuasa dua r.
Jika diberi p = 8 apabila q = 2 dan r = 9.
Hitung nilai p apabila q = 3 dan r = 16.
Diberi bahawa p berubah secara langsung dengan kuasa dua q dan secara songsang dengan punca kuasa dua r.
Jika diberi p = 8 apabila q = 2 dan r = 9.
Hitung nilai p apabila q = 3 dan r = 16.
Langkah Penyelesaian:
-
Langkah 1: Tulis bentuk hubungan ubahan.
p ∝q²√r -
Langkah 2: Tukarkan kepada bentuk persamaan dengan meletakkan pemalar k.
p =k q²√r -
Langkah 3: Cari nilai pemalar k menggunakan set data pertama.
Gantikan nilai p = 8, q = 2, dan r = 9 ke dalam persamaan.
8 =k (2)²√9
8 =k (4)3
24 = 4k
k = 6 -
Langkah 4: Tulis persamaan lengkap yang mengandungi nilai k.
p =6 q²√r -
Langkah 5: Selesaikan masalah menggunakan set data kedua.
Gantikan nilai q = 3 dan r = 16 ke dalam persamaan lengkap.
p =6 (3)²√16
p =6 (9)4
p =544
Jawapan Akhir: p = 13.5
Koleksi Soalan Uji Kefahaman
📘 Soalan 1: Ubahan Tercantum
Pendapatan bulanan, G bagi seorang pekerja berubah secara langsung dengan jumlah jam bekerja, J dan nilai jualan yang dicapai, S.
Diberi bahawa G = RM 2,400 apabila pekerja itu bekerja selama J = 150 jam dan mencapai nilai jualan S = RM 4,000. Hitung pendapatan G, apabila dia bekerja selama 180 jam dan mencapai jualan sebanyak RM 5,500.
Diberi bahawa G = RM 2,400 apabila pekerja itu bekerja selama J = 150 jam dan mencapai nilai jualan S = RM 4,000. Hitung pendapatan G, apabila dia bekerja selama 180 jam dan mencapai jualan sebanyak RM 5,500.
- Langkah 1: Tulis bentuk ubahan tercantum.
G ∝ JS - Langkah 2: Tukar kepada bentuk persamaan dengan pemalar k.
G = kJS - Langkah 3: Cari nilai pemalar k menggunakan maklumat pertama.
2400 = k(150)(4000)
2400 = 600,000 k
k =2400600,000= 0.004 - Langkah 4: Bentukkan persamaan lengkap.
G = 0.004 JS - Langkah 5: Gantikan nilai J = 180 dan S = 5500.
G = 0.004(180)(5500)
G = 0.004(990,000)
Jawapan: G = RM 3,960
📙 Soalan 2: Ubahan Songsang
Masa yang diambil, t jam, untuk mengecat sebuah bangunan berubah secara songsang dengan bilangan pekerja, w.
Jika 8 orang pekerja mengambil masa 15 jam untuk menyiapkan tugasan tersebut. Berapakah masa yang diperlukan jika seramai 12 orang pekerja ditugaskan mengecat bangunan yang sama?
Jika 8 orang pekerja mengambil masa 15 jam untuk menyiapkan tugasan tersebut. Berapakah masa yang diperlukan jika seramai 12 orang pekerja ditugaskan mengecat bangunan yang sama?
- Langkah 1: Tulis bentuk ubahan songsang.
t ∝1w - Langkah 2: Tukar kepada bentuk persamaan dengan pemalar k.
t =kw - Langkah 3: Cari nilai pemalar k dengan menggantikan t = 15 dan w = 8.
15 =k8
k = 15 × 8 = 120 - Langkah 4: Bentukkan persamaan lengkap.
t =120w - Langkah 5: Gantikan nilai pekerja baharu, w = 12.
t =12012
Jawapan: t = 10 jam
📗 Soalan 3: Ubahan Bergabung (Aplikasi Sains)
Kelajuan, S sebuah basikal berubah secara langsung dengan putaran pedal, P dan bilangan gigi gear depan, d, serta berubah secara songsang dengan bilangan gigi gear belakang, b.
Santhami menunggang basikal pada kelajuan S = 26.4 km/j dengan putaran pedal P = 75, bilangan gigi gear depan d = 40 dan gigi gear belakang b = 20.
Hitung kelajuan baharu basikal tersebut jika dia meningkatkan putaran pedalnya kepada P = 90 (dengan gear d dan b tidak berubah).
Santhami menunggang basikal pada kelajuan S = 26.4 km/j dengan putaran pedal P = 75, bilangan gigi gear depan d = 40 dan gigi gear belakang b = 20.
Hitung kelajuan baharu basikal tersebut jika dia meningkatkan putaran pedalnya kepada P = 90 (dengan gear d dan b tidak berubah).
- Langkah 1: Tulis bentuk ubahan bergabung.
S ∝Pdb - Langkah 2: Tukar kepada bentuk persamaan.
S =kPdb - Langkah 3: Gantikan nilai S = 26.4, P = 75, d = 40, b = 20 untuk mencari k.
26.4 =k(75)(40)20
26.4 =k(3000)20
26.4 = 150 k
k =26.4150= 0.176 - Langkah 4: Tulis persamaan lengkap.
S =0.176 Pdb - Langkah 5: Gantikan nilai baharu P = 90, d = 40, b = 20.
S =0.176 (90)(40)20
S =0.176 (3600)20
S = 0.176 × 180
Jawapan: S = 31.68 km/j