NOTA MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 BAB 2

NOTA MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 BAB 2

Nota Interaktif: Pembezaan
BAB 2

Pembezaan

Matematik Tambahan Tingkatan 5

2.1 Had dan Hubungannya dengan Pembezaan

Konsep asas dalam kalkulus bermula dengan Had (Limit). Had digunakan untuk menerangkan kelakuan suatu fungsi apabila pemboleh ubahnya menghampiri suatu nilai tertentu.

Konsep Had

Secara tatatanda matematik, had bagi suatu fungsi $f(x)$ apabila $x$ menghampiri nilai $a$ ditulis sebagai:

$$\lim_{x \to a} f(x) = L$$
  • Gantikan nilai $x=a$ ke dalam fungsi secara terus.
  • Jika mendapat bentuk tak tentu $\left(\frac{0}{0}\right)$, lakukan pemfaktoran atau darab dengan konjugat sebelum menggantikan nilai $x$.

Pembezaan Menggunakan Prinsip Pertama

Pembezaan mencari fungsi kecerunan bagi lengkung. Ia ditakrifkan melalui had perubahan kecil:

$$\frac{dy}{dx} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{\delta y}{\delta x} = \lim_{\delta x \to 0} \frac{f(x + \delta x) – f(x)}{\delta x}$$

* $\delta x$ dibaca sebagai “perubahan kecil dalam $x$”

2.2 Pembezaan Peringkat Pertama

Daripada bergantung kepada Prinsip Pertama yang panjang, kita menggunakan rumus pembezaan untuk mencari fungsi turunan pertama atau $\frac{dy}{dx}$.

📌 Rumus Asas

Jika $y = ax^n$, dengan $a$ ialah pemalar dan $n$ ialah integer:

$$\frac{dy}{dx} = anx^{n-1}$$

*Pemalar dipotong: Jika $y = k$ (pemalar), maka $\frac{dy}{dx} = 0$

🔗 Petua Rantai (Chain Rule)

Sesuai untuk fungsi dalam kurungan berkuasa, $y = (ax+b)^n$:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}$$

Atau rumus pantas:
$\frac{d}{dx}[f(x)]^n = n[f(x)]^{n-1} f'(x)$

Gabungan Fungsi Kompleks

Petua Hasil Darab (Product Rule)

Digunakan apabila $y = uv$ (Dua fungsi x didarabkan)

$\frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}$

Petua Hasil Bahagi (Quotient Rule)

Digunakan apabila $y = \frac{u}{v}$ (Pecahan fungsi x)

$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} – u\frac{dv}{dx}}{v^2}$

2.3 Pembezaan Peringkat Kedua

Pembezaan peringkat kedua adalah proses membezakan fungsi yang telah dibezakan buat kali pertama. Ia sangat berguna untuk menentukan sifat sesuatu titik pusingan (minimum atau maksimum).

Fungsi Asal

$y$ atau $f(x)$

Turunan Pertama

$\frac{dy}{dx}$ atau $f'(x)$

Turunan Kedua

$\frac{d^2y}{dx^2}$ atau $f”(x)$
Awas! Kesilapan Umum

Pastikan anda memahami perbezaan tatatanda. Kuasa dua pada terbitan kedua terletak pada kedudukan yang unik:

$\frac{d^2y}{dx^2} \neq \left( \frac{dy}{dx} \right)^2$

2.4 Aplikasi Pembezaan

Pembezaan mempunyai aplikasi yang sangat luas terutamanya dalam pencarian titik pusingan, graf, masalah kadar, dan penghampiran.

1. Tangen & Normal

Nilai $\frac{dy}{dx}$ pada suatu titik mewakili kecerunan tangen ($m_t$).

$m_t = \frac{dy}{dx}$

Untuk normal (garis berserenjang), gunakan rumus:
$m_t \times m_n = -1$

2. Titik Pegun / Pusingan

Berlaku apabila lengkung mendatar secara seketika:

$\frac{dy}{dx} = 0$
  • Jika $\frac{d^2y}{dx^2} > 0$ ➔ Titik Minimum ∪
  • Jika $\frac{d^2y}{dx^2} < 0$ ➔ Titik Maksimum ∩

3. Kadar Perubahan Terhubung

Berkaitan dengan perubahan sesuatu pemboleh ubah mengikut masa ($t$). Kita meluaskan Petua Rantai:

$$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{dx} \times \frac{dx}{dt}$$

*Gantikan huruf mengikut situasi soalan (Luas $A$, Isi padu $V$, Jejari $j$)

4. Perubahan Kecil & Penghampiran

Digunakan untuk menganggar nilai baru apabila ada sedikit penambahan/pengurangan $\delta x$.

$\delta y \approx \frac{dy}{dx} \times \delta x$

Nilai Baru:
$y_{baru} = y_{asal} + \delta y$

LUBUKSOALAN

Pusat Sumber Nota Matematik Tambahan

Kuiz Interaktif: Pembezaan

Kuiz Interaktif

Bab 2: Pembezaan

Uji kefahaman anda tentang konsep had, pembezaan peringkat pertama & kedua, serta aplikasinya.

Sistem akan memilih 10 soalan secara rawak. Jalan kerja ringkas akan diberikan selepas setiap jawapan.

10 Soalan
Masa Bebas