NOTA MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 BAB 3

NOTA MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 5 BAB 3

Nota Interaktif: Pengamiran
BAB 3

Pengamiran

Matematik Tambahan Tingkatan 5

3.1 Pengamiran sebagai Songsangan Pembezaan

Pengamiran adalah proses terbalik (songsangan) kepada pembezaan. Jika kita telah membezakan suatu fungsi untuk mencari kecerunannya, pengamiran membolehkan kita mencari fungsi asal semula daripada fungsi kecerunan tersebut.

Hubungan Dua Hala

Fungsi Asal

$y = x^3$
Pembezaan $\left(\frac{dy}{dx}\right)$ ➔
🡄 Pengamiran $\left(\int dx\right)$

Fungsi Kecerunan

$\frac{dy}{dx} = 3x^2$

Secara amnya: Jika $\frac{dy}{dx} = f(x)$, maka $\int f(x) \,dx = y$

3.2 Kamiran Tak Tentu

Kamiran tak tentu bermaksud kita mengamirkan suatu fungsi tanpa had sempadan. Oleh sebab pembezaan bagi sebarang pemalar adalah sifar, kita mesti menambah pemalar $c$ pada jawapan akhir.

1️⃣ Rumus Asas Polinomial

Untuk $x$ yang mempunyai kuasa $n$ (dengan $n \neq -1$):

$$\int ax^n \,dx = \frac{ax^{n+1}}{n+1} + c$$
  • Tambah 1 pada kuasa $n$.
  • Bahagi dengan kuasa yang baharu.

2️⃣ Bentuk Linear $(ax+b)^n$

Untuk ungkapan algebra dalam kurungan:

$$\int (ax+b)^n \,dx = \frac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)} + c$$

* Hanya sah jika ungkapan dalam kurungan ialah linear (kuasa x ialah 1).

💡

Mencari Nilai Pemalar, $c$

Dalam soalan peperiksaan, jika koordinat $(x, y)$ bagi suatu titik pada lengkung diberikan, gantikan nilai $x$ dan $y$ ke dalam persamaan yang telah dikamirkan untuk mencari nilai pemalar $c$.

3.3 Kamiran Tentu

Kamiran tentu mempunyai had sempadan (nilai bawah $a$ dan nilai atas $b$). Hasil kamiran tentu ialah satu nilai angka, dan kita tidak perlu lagi menulis pemalar $+ c$.

Teorem Asas Kalkulus

$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx = \Big[ F(x) \Big]_{a}^{b} = F(b) – F(a)$$

di mana $F(x)$ ialah hasil kamiran bagi $f(x)$. Mula-mula gantikan had atas ($b$), kemudian tolak dengan hasil gantian had bawah ($a$).

Sifat-sifat Kamiran Tentu

$\int_{a}^{b} f(x) \,dx$
$= -\int_{b}^{a} f(x) \,dx$
(Tukar had, tukar tanda)
$\int_{a}^{a} f(x) \,dx$
$= 0$
(Had sama, luas sifar)
$\int_{a}^{c} f(x) \,dx + \int_{c}^{b} f(x) \,dx$
$= \int_{a}^{b} f(x) \,dx$
(Gabungan rantau berterusan)

3.4 Aplikasi Pengamiran

Aplikasi utama pengamiran adalah untuk mencari Luas Rantau di bawah lengkung dan Isi Padu Janaan (apabila rantau dikisarkan pada paksi).

1. Luas Rantau Berlorek (Area)

Dibatasi Paksi-x

$$\text{Luas} = \int_{a}^{b} y \,dx$$

Gantikan $y$ dengan persamaan dalam sebutan $x$. *Jika luas berada di bawah paksi-x, jawapan bernilai negatif. Jadikan ia positif dengan tanda modulus $| |$.

Dibatasi Paksi-y

$$\text{Luas} = \int_{a}^{b} x \,dy$$

Gantikan $x$ dengan persamaan dalam sebutan $y$. Had pengamiran $a$ dan $b$ mestilah nilai pada paksi-y.

2. Isi Padu Janaan (Volume of Revolution)

Kisaran penuh sejauh $360^\circ$ pada paksi akan membentuk suatu bongkah 3D padu.

Dikisar pada Paksi-x

$$V = \pi \int_{a}^{b} y^2 \,dx$$

Dikisar pada Paksi-y

$$V = \pi \int_{a}^{b} x^2 \,dy$$

LUBUKSOALAN

Pusat Sumber Nota Matematik Tambahan

Kuiz Interaktif: Pengamiran

Kuasai Kalkulus

Bab 3: Pengamiran

Uji kemahiran anda dalam konsep kamiran tak tentu, kamiran tentu, serta pencarian luas dan isi padu janaan.

10 Soalan Rawak
Tiada Had Masa