NOTA MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 4 BAB 3

NOTA MATEMATIK TAMBAHAN TINGKATAN 4 BAB 3

Nota Interaktif Matematik Tambahan Tingkatan 4 – Bab 3
x
y
z
ax + by + cz = d
x2 + y2 = r2
f(x, y)
Matematik Tambahan T4 • Bab 3

Sistem Persamaan (Systems of Equations)

Ungkai misteri persilangan 3 satah dan manipulasi persamaan linear & tak linear secara serentak.

3.1 Persamaan Linear dalam Tiga Pemboleh Ubah

Sistem persamaan linear bermaksud terdapat dua atau lebih persamaan linear yang melibatkan set pemboleh ubah yang sama. Bentuk umum bagi persamaan linear dalam tiga pemboleh ubah (x, y, z) ialah:

ax + by + cz = d

Dengan keadaan a, b, dan c bukan sifar, serta kuasa tertinggi bagi setiap pemboleh ubah ialah 1.

Satah Tiga Dimensi

Setiap persamaan ax + by + cz = d sebenarnya membentuk sebuah satah (plane) di dalam ruang 3D, berbeza dengan persamaan 2 pemboleh ubah yang hanya membentuk garis lurus.

Kaedah Penyelesaian

Kaedah Penghapusan

Memilih dan mendarabkan persamaan untuk menyamakan pekali salah satu pemboleh ubah, kemudian menolak atau menambah dua persamaan untuk menghapuskan pemboleh ubah tersebut.

Langkah Asas:
  1. Pilih 2 pasang persamaan dan hapuskan pemboleh ubah yang sama (cth: z).
  2. Dua persamaan linear 2 pemboleh ubah baharu akan terbentuk.
  3. Selesaikan seperti biasa untuk mencari x dan y.

Kaedah Penggantian

Mengungkapkan satu pemboleh ubah dalam sebutan pemboleh ubah yang lain (menjadikannya perkara rumus), lalu menggantikannya ke dalam persamaan-persamaan yang berbaki.

Contoh Pengungkapan:
x + y + z = 5
x = 5 – y – z

Gantikan x ke dalam Persamaan 2 & 3.

Geometri 3D & Jenis Penyelesaian

Oleh kerana setiap persamaan mewakili satu satah di dalam ruang tiga dimensi, persilangan antara ketiga-tiga satah ini akan menentukan bilangan penyelesaian (nilai x, y, z) bagi sistem persamaan tersebut.

Satu
Penyelesaian

Ketiga-tiga satah bersilang pada satu titik yang unik. Terdapat hanya satu nilai yang sah untuk x, y, dan z.

Contoh penemuan titik persilangan: (2, 4, -1)
Penyelesaian
Tak Terhingga

Ketiga-tiga satah bersilang pada satu garis lurus yang sama, atau ketiga-tiga satah adalah bertindih sepenuhnya. Semua titik di sepanjang garis tersebut ialah penyelesaian.

Apabila diselesaikan, akan menghasilkan pernyataan benar seperti 0 = 0.
Tiada
Penyelesaian

Satah-satah tersebut selari atau tidak bersilang pada satu titik/garis yang sama.

Apabila diselesaikan, akan menghasilkan pernyataan palsu seperti 0 = 5.

3.2 Persamaan Serentak: Linear & Tak Linear

Kenali Persamaan

Dalam sistem ini, satu persamaan ialah linear (kuasa pemboleh ubah ialah 1) dan satu lagi ialah tak linear (mempunyai kuasa 2, persilangan pemboleh ubah seperti xy, atau pecahan 1/x).

x – y = 2        (Linear) x2 + y2 = 10   (Tak Linear)

Langkah Penyelesaian (Kaedah Penggantian)

1

Jadikan Perkara Rumus

Gunakan persamaan linear untuk mengungkapkan salah satu pemboleh ubah (pilih yang pekali nya 1 jika ada supaya mengelakkan pecahan).

x = y + 2
2

Gantikan ke dalam Persamaan Tak Linear

Gantikan ungkapan tersebut dan kembangkan untuk membentuk satu persamaan kuadratik dalam satu pemboleh ubah sahaja.

(y + 2)2 + y2 = 10
(Kembangkan)
y2 + 4y + 4 + y2 – 10 = 0
2y2 + 4y – 6 = 0
3

Selesaikan Persamaan Kuadratik

Guna pemfaktoran atau rumus kuadratik untuk mencari nilai y. (Kebiasaannya anda akan mendapat dua nilai y).

y2 + 2y – 3 = 0
(y + 3)(y – 1) = 0
y = -3   ,   y = 1
4

Cari Nilai Pemboleh Ubah Kedua

Gantikan setiap nilai y yang dijumpai ke dalam perkara rumus (Langkah 1) tadi untuk mendapatkan nilai x yang sepadan.

Apabila y = -3:
x = (-3) + 2 = -1
Apabila y = 1:
x = (1) + 2 = 3

Penyelesaian Masalah (Aplikasi)

Contoh Ekstrak Persamaan: Pakej Panggung Wayang

Dalam kehidupan harian, maklumat pakej jualan boleh ditukarkan menjadi sistem persamaan untuk mencari harga individu barang.

Pakej A (RM13): 1 Tiket + 1 Minuman + 2 Bertih Jagung
Pakej B (RM17): 2 Tiket + 2 Minuman + 1 Bertih Jagung
Pakej C (RM27): 3 Tiket + 3 Minuman + 2 Bertih Jagung
Katakan:
x = Harga Tiket, y = Harga Minuman, z = Harga Bertih Jagung
x + y + 2z = 13
2x + 2y + z = 17
3x + 3y + 2z = 27

Tips Pemodelan Matematik

  • Pastikan anda mentakrifkan pemboleh ubah (x, y, z) dengan jelas beserta unitnya (cth: liter, RM, unit).
  • Bagi soalan berkaitan ukur lilit dan luas, persamaan Linear lazimnya dibentuk dari Perimeter, manakala persamaan Tak Linear dibentuk dari Luas/Isi padu (kerana pendaraban dimensi, cth xy = 28).

Nota padat ini dibawakan oleh

LUBUKSOALAN

Kuiz Matematik Tambahan: Bab 3 – Sistem Persamaan

MATEMATIK TAMBAHAN TING. 4

Bab 3: Sistem Persamaan

Cabaran Sistem Persamaan!

Uji kefahaman anda menyelesaikan persamaan linear 3 pemboleh ubah, dan persamaan serentak tak linear.

Anda perlu selesaikan 10 soalan rawak. Sediakan pen dan kertas!

Soalan 1 / 10 Markah: 0

Keputusan Kuiz

Bab 3: Sistem Persamaan

0 / 10