Nota Matematik Tambahan Tingkatan 5 Bab 4 – Pilih Atur Dan Gabungan

Matematik Tambahan Tingkatan 5

BAB 4: PILIH ATUR
& GABUNGAN

“Sains di sebalik sekuriti data, pembentukan kata laluan kod binari, dan kebarangkalian kombinasi tanpa batasan.”

🔐 4.1 Asas: Petua Pendaraban & Faktorial

Petua Pendaraban: Jika suatu peristiwa boleh berlaku dalam m cara dan peristiwa kedua boleh berlaku dalam n cara, maka kedua-dua peristiwa boleh berlaku dalam m × n cara.

Tatatanda Faktorial (n!)
Faktorial bermaksud pendaraban menurun bagi integer positif.
n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1
*Nota penting: 0! = 1

🧮 4.1 Pilih Atur Linear (Permutation)

KATA KUNCI: Susunan adalah PENTING. (Contoh: Kata laluan, nombor PIN, jawatan Pengerusi/Setiausaha).

1. Menyusun r objek daripada n objek yang berbeza:

nPr =
n!(n – r)!

2. Menyusun objek yang mempunyai elemen secaman (sama):
Jika terdapat huruf/nombor yang berulang (contohnya perkataan “MALAYSIA” – huruf A ada 3):

Bilangan cara =
n!a! b! c! …

Di mana n ialah jumlah semua objek, dan a, b, c ialah bilangan objek yang serupa.

🔄 4.1 Pilih Atur Membulat

Berlaku apabila objek disusun dalam bentuk bulatan (contoh: duduk mengelilingi meja bulat). Dalam kes ini, tiada titik permulaan atau pengakhiran yang tetap.

Susunan Meja Bulat
Susunan biasa di mana arah jam dan lawan jam adalah berbeza.

P = (n – 1)!
Kes Gelang / Rantai
Jika bulatan boleh diterbalikkan (arah jam & lawan jam adalah sama).
(n – 1)! 2

🤝 4.2 Gabungan (Combination)

KATA KUNCI: Susunan TIDAK PENTING. (Contoh: Memilih ahli jawatankuasa, memilih soalan peperiksaan untuk dijawab, membentuk kumpulan).

Memilih r objek daripada n objek yang berbeza:

nCr =
n! (n – r)! r!
Hubungan antara Pilih Atur (P) dan Gabungan (C):
nCr = nPr ÷ r!

🌐 Eksplorasi Dunia Siber & Logik

Tahukah Anda?

  • Alamat IP (Internet Protocol): Berfungsi sebagai identiti unik peranti. IPv4 membenarkan gabungan lebih kurang 4.3 bilion alamat unik di seluruh dunia menggunakan asas pilih atur binari!
  • SUDOKU: Permainan grid 9×9 ini mula popular pada 2005. Ia bukanlah sekadar nombor, tetapi aplikasi Pilih Atur tulen di mana setiap baris, lajur, dan sub-grid tidak boleh mempunyai nombor berulang.
  • Kata Laluan: Semakin panjang kata laluan anda (menggabungkan huruf besar, kecil, nombor, dan simbol), semakin bilion kemungkinan susunannya, menjadikannya hampir mustahil digodam secara brute-force.