Matematik Tambahan Tingkatan 5
BAB 6: FUNGSI
TRIGONOMETRI
“Menyelusuri rahsia sudut, graf gelombang sinus, dan identiti matematik di sebalik kestabilan seni bina jambatan angkat.”
📐 6.1 & 6.2 Sudut & Nisbah Trigonometri
Sudut Positif diukur melawan arah jam dari paksi-x positif, manakala Sudut Negatif diukur mengikut arah jam.
Tips Hafalan 4 Sukuan (ASTC): “Semua Suka Tok Kadi” atau “All Science Teachers Crazy” menentukan fungsi mana yang bernilai POSITIF.
SUKUAN II (S)
Hanya Sinus Positif
Hanya Sinus Positif
SUKUAN I (A)
Semua Positif
Semua Positif
SUKUAN III (T)
Hanya Tangen Positif
Hanya Tangen Positif
SUKUAN IV (C)
Hanya Kosinus Positif
Hanya Kosinus Positif
Enam Nisbah Trigonometri:
Selain sin, kos, dan tan, terdapat tiga fungsi salingan:
• kosek θ = 1 / sin θ
• sek θ = 1 / kos θ
• kot θ = 1 / tan θ = kos θ / sin θ
Selain sin, kos, dan tan, terdapat tiga fungsi salingan:
• kosek θ = 1 / sin θ
• sek θ = 1 / kos θ
• kot θ = 1 / tan θ = kos θ / sin θ
🌊 6.3 Graf Fungsi Trigonometri
Bentuk am graf trigonometri ialah y = a sin(bx) + c. Setiap huruf mewakili ciri transformasi graf yang berbeza:
- |a| (Amplitud): Ketinggian maksimum graf dari paksi tengah. (Jika negatif, graf dipantulkan).
- b (Kala/Period): Bilangan kitaran penuh dalam 360° (atau 2π).
Kala untuk Sin/Kos = 360°/b. Kala untuk Tan = 180°/b. - c (Anjakan): Peralihan graf ke atas (positif) atau ke bawah (negatif) pada paksi-y.
y = sin x
Bentuk gelombang (‘S’ terbalik). Bermula dari 0, naik ke 1, turun ke -1.
Bentuk gelombang (‘S’ terbalik). Bermula dari 0, naik ke 1, turun ke -1.
y = kos x
Bentuk lembah (huruf ‘U’ atau ‘V’). Bermula dari 1, turun ke -1, naik ke 1.
Bentuk lembah (huruf ‘U’ atau ‘V’). Bermula dari 1, turun ke -1, naik ke 1.
y = tan x
Lengkung ke atas yang terputus oleh garis asimptot pada 90° dan 270°.
Lengkung ke atas yang terputus oleh garis asimptot pada 90° dan 270°.
🔑 6.4 Identiti Asas
Identiti asas (Pythagorean identities) sangat penting untuk membuktikan persamaan trigonometri. Wajib hafal tiga formula ini!
1. sin² x + kos² x = 1
2. 1 + tan² x = sek² x
3. 1 + kot² x = kosek² x
2. 1 + tan² x = sek² x
3. 1 + kot² x = kosek² x
(Tips: Anda boleh bahagikan formula 1 dengan sin²x atau kos²x untuk mendapatkan formula 2 dan 3!)
✖️ 6.5 Sudut Majmuk & Berganda
Rumus Sudut Majmuk (Addition Formulae)
• sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B
• kos (A ± B) = kos A kos B ∓ sin A sin B (Tanda terbalik!)
• tan (A ± B) =
• sin (A ± B) = sin A kos B ± kos A sin B
• kos (A ± B) = kos A kos B ∓ sin A sin B (Tanda terbalik!)
• tan (A ± B) =
tan A ± tan B
1 ∓ tan A tan B
Rumus Sudut Berganda (Double Angle Formulae)
Diperoleh dengan menggantikan B = A dalam rumus majmuk.
• sin 2A = 2 sin A kos A
• kos 2A = kos² A – sin² A
= 2 kos² A – 1
= 1 – 2 sin² A
• tan 2A =
Diperoleh dengan menggantikan B = A dalam rumus majmuk.
• sin 2A = 2 sin A kos A
• kos 2A = kos² A – sin² A
= 2 kos² A – 1
= 1 – 2 sin² A
• tan 2A =
2 tan A
1 – tan² A
💡 Eksplorasi: Jambatan & Tokoh
Tahukah Anda?
- Al-Battani (858-929 M): Abu Abdullah Muhammad Ibn Jabir Ibn Sinan al-Battani merupakan tokoh Islam yang menaikkan martabat trigonometri. Beliau adalah orang pertama di dunia yang menghasilkan jadual kotangen!
- Jambatan Angkat (Drawbridge) Terengganu: Berkonsepkan Bascule Bridge, jurutera menggunakan fungsi trigonometri untuk mengira sudut bukaan, tork (daya putaran), dan kelebaran muara yang selamat dilalui kapal apabila jambatan diangkat.
- Magic Hexagon: Satu teknik visual berbentuk heksagon yang sangat berguna untuk pelajar menghafal dan menjana kesemua identiti asas serta fungsi salingan trigonometri dengan pantas.